题目内容
【题目】设
，函数
.
（1）若
，求函数
在区间
上的最大值；
（2）若存在
，使得关于x的方程
有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）先根据绝对值定义化成分段函数形式，再根据对应区间单调性求最值；
（2）先根据绝对值定义化成分段函数形式，再根据
的范围确定对应区间单调性，结合图象确定方程有三个不相等的实数解的条件，最后根据对勾函数性质求最值，即得结果.
（1）当
，
时，
，
可知函数
在区间
递增，在
上是减函数，在
递增，
则
，
，
所以在区间
上的最大值为.
（2）
，
①当
时，因为
，所以
.
所以在
上单调递增.
②当
时，因为，所以
.
所以在
上单调递增，在
上单调递减.
当
时，知在
和上分别是增函数，
在上是减函数，
当且仅当
时，
方程
有三个不相等的实数解.
即
.
令
，
在
时是增函数，
故
.
∴实数t的取值范围是.
【题目】某工厂生产一种产品，根据预测可知，该产品的产量平稳增长，记2015年为第1年，第x年与年产量
（万件）之间的关系如下表所示：
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 4.00 | 5.52 | 7.00 | 8.49 |
现有三种函数模型：
，
，
（1）找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取
这两年的数据求出相应的函数解析式；
（2）因受市场环境的影响，2020年的年产量估计要比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，估计2020年的年产量.
【题目】某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取
人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
组数 | 分组 | 低碳族的人数 | 占本组的频率 |
第一组 | [25，30) | 120 | 0.6 |
第二组 | [30，35) | 195 |
|
第三组 | [35，40) | 100 | 0.5 |
第四组 | [40，45) |
| 0.4 |
第五组 | [45，50) | 30 | 0.3 |
第六组 | [50，55] | 15 | 0.3 |
(1)补全频率分布直方图并求
的值；
(2)从年龄段在[40，50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[4，45)岁的概率.
【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费
（单位：千元）对年销售量
（单位：
）和年利润
（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费
和年销售量
数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
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46.6 | 563 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1469 | 108.8 |
表中
，
附：对于一组数据
，其回归线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
（1）根据散点图判断，
与
，哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润与
的关系为
，根据（2）的结果回答：当年宣传费
时，年销售量及年利润的预报值是多少？