Question

已知点P是线段AB上的动点，若

OP

=x

OA

+y

OB

，则

1

x

+

1

y

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：想着能否用其它的变量来表示x，y，根据向量的加法运算，.

OP

=

OA

+

AP

，根据共线向量基本定理，存在实数λ使

AP

=λ

AB

=λ(OB-OA)，所以

OP

=

OA

+λ(

OB

-

OA

)=(1-λ)

OA

+λ

OB

．所以根据共面向量基本定理得到：

x=1-λ y=λ

，所以

1

x

+

1

y

=

1

1-λ

+

1

λ

，所以求关于变量λ的函数的最小值即可．

解答： 解：

OP

=

OA

+

AP

=

OA

+λ

AB

=(1-λ)

OA

+λ

OB

（0＜λ＜1）；
∴

x=1-λ y=λ

；
∴

1

x

+

1

y

=

1

1-λ

+

1

λ

=

1

-(λ- 1 2 )2+ 1 4

；
∵0＜λ＜1；
∴-

1

2

＜λ-

1

2

＜

1

2

∴0＜-(λ-

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

；
∴x=

1

2

时，

1

x

+

1

y

最小为4．
故答案为：4．

点评：本题考查向量的加法运算，共线向量基本定理，共面向量基本定理，二次函数的值域，要求

1

t

的最小值，只需求t的最大值即可．