Question

已知数列{a_n}，a₁=

1

2

，且满足a_n=

an+1

1-2an+1

．
（1）求证：数列{

1

an

}是等差数列；
（2）设b_n=a_na_n+1，b_n的前n项和为S_n，求S_n的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a_n=

an+1

1-2an+1

，得

1

an+1

-

1

an

=2，由此能证明数列{

1

an

}是等差数列．
（Ⅱ）由b_n=a_na_n+1=

1

2n(2n+2)

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂项求和法能求出

1

8

≤Sn＜

1

4

．

解答： （Ⅰ）证明：由a_n=

an+1

1-2an+1

，
得a_n-2a_na_n+1=a_n+1，
∴

1

an+1

-

1

an

=2，（2分）
∴数列{

1

an

}是等差数列．（4分）
（Ⅱ）解：∵a1=

1

2

，∴

1

a1

=2，

1

an

=2+(n-1)×2=2n，
∴an=

1

2n

，（6分）
∴b_n=a_na_n+1=

1

2n(2n+2)

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Sn=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

4

(1-

1

n+1

)＜

1

4

，（9分）]
∵Sn=

1

4

(1-

1

n+1

)是递增数列，∴（S_n）_min=S1=

1

8

，
∴

1

8

≤Sn＜

1

4

．（12分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．