Question

三棱锥P-ABC中，底面ABC为边长为2

3

的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D 为AP上一点，AD=2DP，O为底面三角形中心．
（Ⅰ） 求证：BD⊥AC；
（Ⅱ） 设M为PC中点，求二面角M-BD-O的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连结AO，并延长，交BC于点E，连结PE，由已和得DO∥PE，PC⊥BC，DO⊥AC，又AC⊥BO，从而AC⊥平面DOB，由此能证明AC⊥BD．
（Ⅱ）分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BDM的一个法向量和平面DBO的一个法向量，利用向量法能求出二面角M-BD-O的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）证明：连结AO，并延长，交BC于点E，连结PE，
∵O为正三角形ABC的中心，且E为BC中点，
又AD=2DP，∴DO∥PE，
∵PB=PC，且E为BC中点，∴PC⊥BC，
又平面PBC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，
∴DO⊥平面PBC，∴DO⊥AC，又AC⊥BO，∴AC⊥平面DOB，
∴AC⊥BD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知EA，EB，EP两两互相垂直，且E为BC中点，
分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则A（3，0，0），B（0，

3

，0），P（0，0，1），D（1，0，

2

3

），
C（0，-

3

，0），M（0，-

3

2

，

1

2

），
∴

BM

=（0，-

3 3

2

，

1

2

），

DB

=（-1，

3

，-

2

3

），
设平面BDM的一个法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • DB =-x+ 3 y- 2 3 z=0 n • BM =- 3 3 2 y+ 1 2 z=0

，
令y=1，得

n

=（-

3

，1，3

3

），
由（Ⅰ）知AC⊥平面DBO，∴

AC

=（-3，-

3

，0）为平面DBO的一个法向量，
∴cos＜

n

，

AC

＞=

n • AC

| n |•| AC |

=

3 3 - 3

31 • 12

=

31

31

，
∴二面角M-BD-O的余弦值为

31

31

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．