题目内容

在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，
BD
=λ
BC
（0＜λ＜1），设f（λ）=
AD
•
BC
，则f（λ）的取值范围是
 
．
考点：平面向量数量积的运算
专题：函数的性质及应用,平面向量及应用
分析：运用向量的数量积的定义可得
AB
•
AC
=-1，运用向量三角形法则求得向量
AD
，化简整理f（λ），可得7λ-5，再由一次函数的单调性，即可得到所求范围．
解答： 解：由于∠BAC=120°，AB=2，AC=1，
则
AB
•
AC
=2×1×cos120°=-1，
由
BD
=λ
BC
（0＜λ＜1），则
BD
=
λ
1-λ
DC
，
则有
AD
-
AB
=
λ
1-λ
（
AC
-
AD
），
可得
AD
=（1-λ）
AB
+λ
AC
，
即有f（λ）=
AD
•
BC
=[（1-λ）
AB
+λ
AC
]•（
AC
-
AB
）
=λ
AC
2-（1-λ）
AB
2+（1-2λ）
AB
•
AC

=λ-4（1-λ）-（1-2λ）=7λ-5，
由于0＜λ＜1，则有-5＜f（λ）＜2．
则f（λ）的取值范围是（-5，2）．
故答案为：（-5，2）．
点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的共线定理和向量的平方即为模的平方，以及化简整理能力，运用一次函数的单调性是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
含2n-1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为（　　）
A、
2n+1
n
B、
n
n-1
C、
n-1
n
D、
n+1
2n
在函数f（x）=
3x，x＜1
f(x-1)，x≥1
，则f（log310）=（　　）
A、
10
3
B、
9
2
C、
10
9
D、
10
7
三棱锥P-ABC中，底面ABC为边长为2
3
的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D 为AP上一点，AD=2DP，O为底面三角形中心．
（Ⅰ） 求证：BD⊥AC；
（Ⅱ） 设M为PC中点，求二面角M-BD-O的余弦值．
为了解某市民众对某项公共政策的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，做出了他们的月收入（单位：百元，范围：[15，75]）的频率分布直方图，同时得到他们月收入情况以及对该项政策赞成的人数统计表：
（1）求月收入在[35，45）内的频率，并补全这个频率分布直方图，并在图中标出相应纵坐标；
（2）根据频率分布直方图估计这50人的平均月收入；（3）若从月收入（单位：百元）在[65，75]的被调查者中随机选取2人，求2人都不赞成的概率．
月收入 赞成人数 
[15，25） 4 
[25，35） 8
[35，45） 12
[45，55） 5 
[55，65） 2
[65，75） 2
记空间向量
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，其中
a
，
b
，
c
均为单位向量．若
a
⊥
b
，且
c
与
a
，
b
的夹角均为θ，θ∈[0，π]．有以下结论：
①
c
⊥（
a
-
b
）；
②直线OC与平面OAB所成角等于向量
c
与
a
+
b
的夹角；
③若向量
a
+
b
所在直线与平面ABC垂直，则θ=60°；
④当θ=90°时，P为△ABC内（含边界）一动点，若向量
OP
与
a
+
b
+
c
夹角的余弦值为
6
3
，则动点P的轨迹为圆．
其中，正确的结论有
 
（写出所有正确结论的序号）．
已知向量
b
={3，4}，
a
•
b
=5，|
a
-
b
|=2
5
，则|
a
|=（　　）
A、5
B、25
C、2
5
D、
5
设
a1
=2
i
-
j
+
k
，
a2
=
j
+3
j
-2
k
，
a3
=-2
i
+
j
-3
k
，
a4
=3
i
+2
j
+5
k
，
i
，
j
，
k
是空间两两垂直的单位向量是否存在实数λμγ，使
a4
=λ
a1
+μ
a2
+γ
a3
成立？不存在请说明理由．
已知抛物线C：y=（t2+t-1）x2-2（a+t）2x+（t2+3at+b）对任何实数t都与x轴交于P（1，0）点，又设抛物线C与x轴的另一交点为Q（m，0），求m的取值范围．

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