Question

19．计算下列定积分．
（1）$\int_{-3}^2{|{x+1}|}dx$
（2）设$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}（0≤x＜1）\\ 2-x（1≤x≤2）\end{array}\right.$，则$\int_0^2{f（x）dx}$．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值函数，分段求出定积分即可，
（2）根据分段函数，分别求出定积分即可．

解答 解：（1）$\int_{-3}^2{|{x+1}|}dx$=${∫}_{-1}^{2}$（x+1）dx+${∫}_{-3}^{-1}$（-x-1）dx，
=（$\frac{1}{2}$x²+x）|${\;}_{-1}^{2}$-（$\frac{1}{2}$x²+x）|${\;}_{-3}^{-1}$，
=2+2-$\frac{1}{2}$+1-（$\frac{1}{2}$-1-$\frac{9}{2}$+3），
=$\frac{13}{2}$；
（2）设$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}（0≤x＜1）\\ 2-x（1≤x≤2）\end{array}\right.$，
则$\int_0^2{f（x）dx}$=${∫}_{0}^{1}$x²dx+${∫}_{1}^{2}$（2-x）dx，
=$\frac{1}{3}$x³|${\;}_{0}^{1}$+（2x-$\frac{1}{2}$x²）|${\;}_{1}^{2}$，
=$\frac{1}{3}$+（4-2）-（2-$\frac{1}{2}$），
=$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查了分段函数的定积分的求法，属于基础题．