题目内容
若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x）=
，则f（x）的“姊妹点对”有 （ ）
|
| A、0个 | B、1个 | C、2个 | D、3个 |
考点：函数与方程的综合运用
专题：计算题,新定义,函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：由题意可设点A（x，y）（x＜0）在f（x）的图象上，从而可得
，从而可得方程x2+2x+
=0，再构造函数g（x）=x2+2x+（1-x）ex，求导确定函数的大致单调性，从而由函数零点的判定定理确定个数即可．
|
| 1-x |
| e-x |
解答：
解：设点A（x，y）（x＜0）在f（x）的图象上，
则点B（-x，-y）也在f（x）的图象上；
故
；
故x2+2x+
=0，
令g（x）=x2+2x+
=x2+2x+（1-x）ex，
g′（x）=2x+2-xex，
故可知g（x）在（-∞，0）上先减后增，
且g（-2）=
＞0，g（-1）=
-1＜0，g（0）=1；
且g（x）在（-∞，0）上连续，
故x2+2x+
=0在（-∞，0）上有两个解，
故f（x）的“姊妹点对”有2个；
故选：C．
则点B（-x，-y）也在f（x）的图象上；
故
|
故x2+2x+
| 1-x |
| e-x |
令g（x）=x2+2x+
| 1-x |
| e-x |
=x2+2x+（1-x）ex，
g′（x）=2x+2-xex，
故可知g（x）在（-∞，0）上先减后增，
且g（-2）=
| 3 |
| e2 |
| 2 |
| e |
且g（x）在（-∞，0）上连续，
故x2+2x+
| 1-x |
| e-x |
故f（x）的“姊妹点对”有2个；
故选：C．
点评：本题考查了学生对新定义的接受能力及导数的综合应用，同时考查了零点个数的判断，属于中档题．
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| 5 |
| -2+i |
| A、-2+i | B、-2-i |
| C、2-i | D、2+i |
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| A、4π | ||||
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| ||||
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|