Question

已知椭圆C：

x2

2

+y2=1．
（1）求椭圆C截直线l₁：y=

2

（x+1）所得的弦长；
（2）直线l₂交椭圆C于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，判断l₂是否存在，若存在求出，不存在说明理由？

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线方程与椭圆的方程联立可得5x²+8x+2=0，可得根与系数的关系，利用弦长公式|AB|=

(1+2)[(x1+x2)2-4x1x2]

即可得出．
（2）设MN的中点为P（s，t），假设△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点F（1，0）上，利用

BF

=2

FP

，解得P(

3

2

，-

1

2

)．即可判断出．

解答： 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y= 2 (x+1) x2 2 +y2=1

，化为5x²+8x+2=0，
∴x₁+x₂=-

8

5

，x₁x₂=

2

5

．
∴|AB|=

(1+2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

3×[( 8 5 )2-4× 2 5 ]

=

6 2

5

．
（2）设MN的中点为P（s，t），
假设△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点F（1，0）上，
则

BF

=2

FP

，解得P(

3

2

，-

1

2

)．
而

3

2

＞

2

=a，
弦MN的中点横坐标＞a，在椭圆的外部，因此直线MN不可能存在．

点评：本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、中点弦问题、三角形的重心的性质、向量运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．