Question

16．在△ABC中，已知AB=2，cos∠ABC=$\frac{1}{3}$，若点D为AC的中点，且BD=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，则sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理列出关系式，联立求出a与b的值，再利用正弦定理即可确定出sinA的值；

解答 解：∵点D为AC的中点，∴$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$，
    两边平方得：$\frac{1}{4}$（c²+a²+2ac•cosB）=$\frac{17}{4}$，
把c=2代入得：3a²+4a-39=0，
分解得：（3a+13）（a-3）=0，
解得：a=$\frac{13}{3}$-（舍去）或a=3，
∵AB=c=2，cosB=$\frac{1}{3}$．∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
由余弦定理得：b²=a²+4-$\frac{4}{3}$a，
把a=3代入得：b=3，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得sinA=$\frac{asinB}{b}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理、向量的线性运算是解本题的关键