Question

已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为

x=2cosφ y=2+2sinφ

（φ为参数）．点A，B是曲线C上两点，点A，B的极坐标分别为（ρ₁，

π

3

），（ρ₂，

5π

6

）．
（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和极坐标方程；
（Ⅱ）求|AB|的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）消去参数φ，把曲线C的参数方程化为普通方程；
由公式

x=ρcosθ y=ρsinθ

，把曲线C的普通方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）方法1：由A、B两点的极坐标，得出∠AOB=

π

2

，判定AB为直径，求出|AB|；
方法2：把A、B化为直角坐标的点的坐标，求出A、B两点间距离|AB|．

解答：解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为

x=2cosφ y=2+2sinφ

，（φ为参数），
消去参数φ，化为普通方程是x²+（y-2）²=4；
由

x=ρcosθ y=ρsinθ

，（θ为参数），
∴曲线C的普通方程x²+（y-2）²=4可化为
极坐标ρ=4sinθ，（θ为参数）；
（Ⅱ）方法1：由A(ρ1，

π

3

)，B(ρ2，

5π

6

)是圆C上的两点，
且知∠AOB=

π

2

，
∴AB为直径，
∴|AB|=4；
方法2：由两点A（ρ₁，

π

3

），B（ρ₂，

5π

6

），
化为直角坐标中点的坐标是A（

3

，3），B（-

3

，1），
∴A、B两点间距离为|AB|=4．

点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟练地应用参数方程、极坐标与普通方程的互化公式，是基础题．