Question

在直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为：

x=2cosα y= 2 sinα

（α为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为：ρ=cosθ．
（I）求曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若P，Q分别是曲线C₁和C₂上的任意一点，求|PQ|的最小值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）把曲线C₂的极坐标方程化为普通方程，再化为标准形式；
（Ⅱ）设出点P的坐标，求出曲线C₂的圆心，计算点P到圆心的距离d，即可得出|PQ|的最小值d-r．

解答：解：（Ⅰ）∵ρ=cosθ，∴ρ²=ρcosθ，
化为普通方程是x²+y²=x，
即(x-

1

2

)2+y²=

1

4

；
（Ⅱ）设P（2cosα，

2

sinα），圆心C2(

1

2

，0)，

|PC2|= (2cosα- 1 2 )2+( 2 sinα)2   = 4cos2α-2cosα+ 1 4 +2sin2α = 2cos2α-2cosα+ 9 4

；
∴当cosα=

1

2

时，|PC2|min=

7

2

，
∴|PQ|的最小值是|PQ|min=

7 -1

2

．

点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟练地把参数方程与极坐标方程和普通方程互相转化，寻找解题的适当方法，是基础题．