Question

15．已知圆C：（x-2）²+y²=4，直线${l_1}：y=\sqrt{3}\;x$，l₂：y=kx-1，若l₁，l₂被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，则k的值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由条件利用直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式，求得k的值．

解答 解：圆C：（x-2）²+y²=4的圆心为（2，0），半径为2，
圆心到线${l_1}：y=\sqrt{3}\;x$的距离为$\sqrt{3}$，l₁被圆C所截得的弦的长度为2$\sqrt{{2}^{2}-3}$=2，
圆心到l₂的距离为 $\frac{|2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，l₂被圆C所截得的弦的长度为2$\sqrt{4{-（\frac{2k-1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}）}^{2}}$，
结合l₁，l₂被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，可得2$\sqrt{4{-（\frac{2k-1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}）}^{2}}$=2×2，
求得k=$\frac{1}{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．