Question

10．将函数$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$的图象向左平移$φ（0＜φ＜\frac{π}{2}）$个单位得到y=g（x）的图象，若对满足|f（x₁）-g（x₂）|=2的x₁、x₂，|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{4}$，则φ的值是（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 先求得g（x）的解析式，根据题意可得两个函数的最大值与最小值的差为2时，|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{4}$．不妨设 x₁=$\frac{π}{6}$，此时 x₂ =$\frac{π}{6}$±$\frac{π}{4}$．检验求得φ的值．

解答 解：将函数$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$的图象向左平移$φ（0＜φ＜\frac{π}{2}）$个单位得到y=g（x）=sin[2（x+φ）+$\frac{π}{6}$]=sin（2x+2φ+$\frac{π}{6}$）的图象，
对满足|f（x₁）-g（x₂）|=2的x₁、x₂，|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{4}$，
即两个函数的最大值与最小值的差为2时，|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{4}$．
不妨设 x₁=$\frac{π}{6}$，此时 x₂ =$\frac{π}{6}$±$\frac{π}{4}$．
若 x₁=$\frac{π}{6}$，x₂ =$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{12}$，则g（x₂）=-1，sin2φ=1，φ=$\frac{π}{4}$．
若 x₁=$\frac{π}{6}$，x₂ =$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{12}$，则g（x₂）=-1，sin2φ=-1，φ=$\frac{3π}{4}$，不合题意，
故选：B．

点评 本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖，属于中档题．