Question

已知等差数列{a_n}和等比数列{b_n}满足：|a₁|=|a₅|，b₁=a₄，b₂=a₅，b₃=a₆+1．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n+3•b_n+1，S_n=c₁+c₂+…+c_n，不等式（m-n）•b_n+2+S_n＜0对于任意的n∈N^*都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当a₁=a₅时，由已知条件推导出

b2

b1

=1，

b3

b2

=

a6+1

a5

≠1，与数列{b_n}是等比数列矛盾；当a₁=-a₅时，a₁=-2d，由已知条件推导出d=1，q=2，由此求出数列{a_n}的通项公式为a_n=n-3，数列{b_n}的通项公式为b_n=2^n-1．
（2）由题设知c_n=n•2ⁿ，由此利用错位相减法求出S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，由此利用已知条件能够证明m＜

1

2

．

解答： 解：（1）∵|a₁|=|a₅|，∴a₁=±a₅，
当a₁=a₅时，公差d=0，数列{a_n}为各项均为a₁的常数数列，
∴b₁=a₄=a₁，b₂=a₅=a₁，数列{b_n}为等比数列，a₁≠0，

b2

b1

=q=

a5

a4

=1，

b3

b2

=

a6+1

a5

=

a1+1

a1

=1+

1

a1

≠1，
与数列{b_n}是等比数列矛盾，因此a₁≠a₅．
当a₁=-a₅=-（a₁+4d）时，a₁=-2d，

b3

b2

=

b2

b1

，

a6+1

a5

=

a5

a4

，

a1+5d+1

a1+4d

=

a1+4d

a1+3d

，把a₁=-2d代入，整理，得
4d=3d+1，解得d=1，∴a₁=-2d=-2，q=

b2

b1

=

a5

a4

=

a1+4d

a1+3d

=

2b

b

=2，
b₁=a₄=a₁+3d=-2+3×1=1，
a_n=a₁+（n-1）d=-2+1×（n-1）=n-3，
b_n=b₁q^n-1=1×2^n-1=2^n-1．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n-3，
数列{b_n}的通项公式为b_n=2^n-1．
（2）∵a_n=n-3，b_n=2^n-1，
∴c_n=a_n+3•b_n+1=n•2ⁿ，
∴Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，①
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∵（m-n）•b_n+2+S_n＜0，∴（m-n）•2ⁿ⁺¹+（n-1）•2ⁿ⁺¹+2＜0，
∴m＜1-

1

2n

对于任意n∈N^*恒成立，而数列{1-

1

2n

}为增数列，
（1-

1

2n

）_min=1-

1

2

=

1

2

，
∴m＜

1

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法及不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．