Question

已知函数f（x）=

2

3

x³-2tx+t•lnx（t∈R）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=x平行，求实数t的值；
（Ⅱ）证明：对任意的x₁，x₂∈（0，1]及t∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤（|t-1|+1）|lnx₁-lnx₂|成立．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的导函数，因为切线与直线y=x平行得到两条直线斜率相等，得到切线的斜率为1即f′（1）=1，解出t即可；
（Ⅱ）根据不等式恒成立，转化为求函数的最值即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ） 由于函数f（x）=

2

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x³-2tx+t•lnx（t∈R）．
则f′（x）=2x²-2t+

t

x

，
又由曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=x平行，则f′（1）=1，解得t=1，
故实数t的值为1；
（Ⅱ）当x₁=x₂时，结论明显成立，
不妨设x₁＜x₂，且记λ=|t-1|+1，则|f（x₁）-f（x₂）|≤λ|lnx₁-lnx₂|等价于
λ（lnx₁-lnx₂）≤f（x₁）-f（x₂）≤λ（lnx₂-lnx₁），
则f（x₁）+λlnx₁≤f（x₂）+λlnx₂且f（x₁）-λlnx₁≥f（x₂）-λlnx₂，
要使得对任意的x₁，x₂∈（0，1]，f（x₁）+λlnx₁≤f（x₂）+λlnx₂恒成立，
只需f′（x）≥-

λ

x

对于x∈（0，1]恒成立，同理可得f′（x）≤

λ

x

对于x∈（0，1]恒成立，
即-

λ

x

≤2x²-2t+

t

x

≤

λ

x

对于x∈（0，1]恒成立
?当t∈R时，-（|t-1|+1）≤2x³-2tx+t≤|t-1|+1对于x₂∈（0，1]恒成立．
考虑函数g（x）=2x³-2tx+t，x∈（0，1]，则g′（x）=6x²-2t，
（1）当t≤0时，函数g（x）在（0，1]上单调递增，此时g（x）≤g（1）=2-t；
（2）当t≥3时，函数g（x）在（0，1]上单调递减，此时g（x）＜g（0）=t；
（3）当0＜t＜3时，函数g（x）在（0，

t 3

]上递减及(

t 3

，1]上递增，
此时g（x）＜max{g（0），g（1）}=max{t，2-t}
综上，当t＜1时，g（x）＜2-t；当t≥1时，g（x）≤t，
所以2x³-2tx+t≤|t-1|+1对于x∈（0，1]成立；
为证-（|t-1|+1）≤2x³-2tx+t，可设函数h（t）=|t-1|+t-2tx+2x³+1，
即h（t）=

2t(1-x)+2x3，t≥1 2t(-x)+2x3+2，t＜1

，则有h（t）≥h（1）=2x³-2x+2，
又由上面g（x）=2x³-2tx+t的分析可知函数y=2x³-2x+2（x∈（0，1]）在x=

3

3

处取到最小值，
所以h（t）≥h（1）=2x³-2x+2≥

18-4 3

9

＞0，
从而-（|t-1|+1）≤2x³-2tx+t对任意x∈（0，1]恒成立．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题的解决，考查分类讨论思想、转化思想．