Question

18．已知sinαcosβ=$\frac{1}{4}$，则cosαsinβ的取值范围[-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 利用两角和差的正弦公式建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：∵sinαcosβ=$\frac{1}{4}$，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{1}{4}$+sinβcosα
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{1}{4}$-sinβcosα
∵-1≤sin（α+β）≤1，-1≤sin（α-β）≤1．
∴-1≤$\frac{1}{4}$+sinβcosα≤1，-1≤$\frac{1}{4}$-sinβcosα≤1，
即--$\frac{5}{4}$≤sinβcosα≤$\frac{3}{4}$，且-$\frac{3}{4}$≤sinβcosα≤$\frac{5}{4}$，
综上-$\frac{3}{4}$≤sinβcosα≤$\frac{3}{4}$，
故答案为：[-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$]．

点评 本题考查三角函数值的取值范围，利用两角和与差的正弦公式是解决本题的关键．，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的恒等变换．