Question

在数列{a_n}和{b_n}中，已知a₁=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，bn+2=3log

1

4

an（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的概念及简单表示法

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得{a_n}是首项为

1

4

，公比为

1

4

的等比数列，从而a_n=（

1

4

）ⁿ，由bn+2=3log

1

4

an=3log

1

4

(

1

4

)n=3n，得b_n=3n-2．
（2）由c_n=a_n•b_n=（3n-2）•（

1

4

）ⁿ，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵a₁=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，
∴{a_n}是首项为

1

4

，公比为

1

4

的等比数列，
∴a_n=（

1

4

）ⁿ，
∵bn+2=3log

1

4

an=3log

1

4

(

1

4

)n=3n，
∴b_n=3n-2．
（2）c_n=a_n•b_n=（3n-2）•（

1

4

）ⁿ，
∴S_n=1×(

1

4

)+4×(

1

4

)2+…+（3n-2）•（

1

4

）ⁿ，①

1

4

Sn=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3+…+（3n-2）•（

1

4

）ⁿ⁺¹，②
①-②，得：

3

4

Sn=

1

4

+3[（

1

4

）²+（

1

4

）³+…+（

1

4

）ⁿ]-（3n-2）•（

1

4

）ⁿ⁺¹
=

1

4

+3×

1 16 (1- 1 4n-1 )

1- 1 4

-（3n-2）•（

1

4

）ⁿ⁺¹
=

1

2

-（3n+2）•（

1

4

）ⁿ⁺¹．
∴S_n=

2

3

-

3n+2

3

•（

1

4

）ⁿ．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．