Question

已知F₁，F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A是上顶点，点P（1，

3

2

）在椭圆上，且|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若圆C的圆心在y轴上，且与直线AF₂及x轴均相切，求圆C的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意知

2a=4 1 a2 + 2 4 b2 =1

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）由题意得A（0，

3

），F₁（1，0），则直线的方程为

3

x-y-

3

=0，设圆C的方程为x²+（y-m）²=m²，则

|m- 3 |

3+1

=|m|，由此能求出圆C的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知

2a=4 1 a2 + 2 4 b2 =1

，
解得a=2，b=

3

，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由题意得A（0，

3

），F₁（1，0），
则直线的方程为x+

y

3

=1，即

3

x-y-

3

=0，
设圆C的方程为x²+（y-m）²=m²，
∵圆C的圆心在y轴上，且与直线AF₂及x轴均相切
∴

|m- 3 |

3+1

=|m|，
解得m=-

3

或m=

3

3

，
∴圆C的方程为x2+(y+

3

)2=3或x2+(y-

3

3

)2=

1

3

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．