题目内容
已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a＞0），F（x）=
若f（-1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立．
（1）求F（x）的表达式；
（2）设函数g（x）=x+t，若函数F（x）与g（x）的图象有三个不同交点，求实数t的取值范围．
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（1）求F（x）的表达式；
（2）设函数g（x）=x+t，若函数F（x）与g（x）的图象有三个不同交点，求实数t的取值范围．
考点：二次函数的性质
专题：函数的性质及应用
分析：（1）由f（-1）=0，可得a-b+1=0，b=a+1，可得f（x）=ax2+（a+1）x+1（a＞0），因为对任意实数x均有f（x）≥0成立，所以
，据此求出a、b的值，进而求出求F（x）的表达式即可；
（2）根据函数F（x）与g（x）的图象有三个不同交点，分两种情况讨论求出实数t的取值范围即可．
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（2）根据函数F（x）与g（x）的图象有三个不同交点，分两种情况讨论求出实数t的取值范围即可．
解答：
解：由f（-1）=0，可得a-b+1=0，b=a+1，
所以f（x）=ax2+（a+1）x+1（a＞0），
因为对任意实数x均有f（x）≥0成立，
所以
，
解得a=1，从而b=2，
所以f（x）=x2+2x+1（a＞0），
F（x）=
；
（2）当x＞0时，由函数F（x）与g（x）的图象，可得t＞1，
当x＜0时，要使函数f（x）与g（x）的图象有三个不同交点，
则方程-x2-2x-1=x+t，即x2+3x+t+1=0有两个不同负根，
∴
，
解得，-1＜t＜
，
综上所述，1≤t＜
．
所以f（x）=ax2+（a+1）x+1（a＞0），
因为对任意实数x均有f（x）≥0成立，
所以
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解得a=1，从而b=2，
所以f（x）=x2+2x+1（a＞0），
F（x）=
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（2）当x＞0时，由函数F（x）与g（x）的图象，可得t＞1，
当x＜0时，要使函数f（x）与g（x）的图象有三个不同交点，
则方程-x2-2x-1=x+t，即x2+3x+t+1=0有两个不同负根，
∴
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解得，-1＜t＜
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| 4 |
综上所述，1≤t＜
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点评：本题主要考查了二次函数的性质的运用，考查了函数的极值与最值，考查了学生分析解决问题的能力，属于中等题．
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