题目内容
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=2．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；
（Ⅱ）求点C1到平面AB1D的距离．
考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定
专题：综合题,空间位置关系与距离
分析：（Ⅰ）取C1B1的中点E，连接A1E，ED，易证平面A1EC∥平面AB1D，利用面面平行的性质即可证得A1C∥平面AB1D．
（Ⅱ）由VC1-AB1D=VA-C1B1D可得点C1到平面AB1D的距离．
（Ⅱ）由VC1-AB1D=VA-C1B1D可得点C1到平面AB1D的距离．
解答：
（Ⅰ）证明：取C1B1的中点E，连接A1E，ED，
则四边形B1DCE为平行四边形，
于是有B1D∥EC，又A1E∥AD，B1D∩AD=D，A1E∩EC=E，
∴平面A1EC∥平面AB1D，A1C?平面A1EC，
∴A1C∥平面AB1D．
（Ⅱ）解：由题意，△AB1D中，AD=
，B1D=
，AD⊥B1D，
∴S△AB1D=
×
×
=
，
设点C1到平面AB1D的距离为h，则
由VC1-AB1D=VA-C1B1D可得
×
h=
×
×2×2×
=
．
（Ⅰ）证明：取C1B1的中点E，连接A1E，ED，则四边形B1DCE为平行四边形，
于是有B1D∥EC，又A1E∥AD，B1D∩AD=D，A1E∩EC=E，
∴平面A1EC∥平面AB1D，A1C?平面A1EC，
∴A1C∥平面AB1D．
（Ⅱ）解：由题意，△AB1D中，AD=
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∴S△AB1D=
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设点C1到平面AB1D的距离为h，则
由VC1-AB1D=VA-C1B1D可得
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点评：本题考查空间垂直关系、平行关系的证明，根据三棱锥的体积求点到平面的距离，属于中档题．
练习册系列答案
世纪百通期末金卷系列答案
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