Question

已知函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）cos2x-

1

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移

π

8

个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）-k=0在区间[0，

π

2

]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简，进而利用周期公式求得答案．
（Ⅱ）先根据三角函数图象的平移法则取得g（x）的解析式，进而根据x的范围确定2x-

π

3

的范围，即函数y=g（x）与y=k在区间[0，

π

2

]上有且只有一个交点，和三角函数图象推断出k的范围．

解答： 解：（ I）f(x)=

3

sin2xcos2x+cos22x-

1

2

=

3

2

sin4x+

cos4x+1

2

-

1

2

=

3

2

sin4x+

1

2

cos4x=sin(4x+

π

6

)
由题意知f（x）的最小正周期T=

2π

4

=

π

2

（ II）将f（x）的图象向右平移个

π

8

个单位后，得到y=sin（4x-

π

3

）的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin（2x-

π

3

）的图象．
所以g（x）=sin（2x-

π

3

），
因为0≤x≤

π

2

，
所以-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

．g（x）-k=0在区间[0，

π

2

]上有且只有一个实数解，即函数y=g（x）与y=k在区间[0，

π

2

]上有且只有一个交点，
由正弦函数的图象可知-

3

2

≤k≤1
综上所述：-

3

2

≤k≤1

点评：本题主要考查了三角函数图象与性质，三角函数恒等变换的应用．考查了学生分析和推理的能力．