Question

19．如图，四棱锥P-ABCD中，PC=AD=CD=$\frac{1}{2}$AB=1，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与线段PB交于点N，确定点N的位置，并说明理由．

Answer 1

分析 （I）连接AC，推导出AC⊥BC，PC⊥BC，由此能证明BC⊥平面PAC．
（II）当N为PB的中点时，由M为PA的中点，得到MN∥AB，且MN=$\frac{1}{2}AB=2a$．再由AB∥CD，得MN∥CD从而求出点N为过C，D，M三点的平面与线段PB的交点．

解答 解：（I）连接AC，在直角梯形ABCD中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
BC=$\sqrt{（AB-CD）^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AC²+BC²=AB²，即AC⊥BC．
又PC⊥平面ABCD，∴PC⊥BC，
又AC∩PC=C，故BC⊥平面PAC．
解：（II）N为PB的中点．
理由如下：
∵N为PB的中点，M为PA的中点，
∴MN∥AB，且MN=$\frac{1}{2}AB=2a$．
又∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴M，N，C，D四点共面，
∴点N为过C，D，M三点的平面与线段PB的交点．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．