Question

9．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线BB₁与平面ACD₁所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，找出直线BB₁与平面ACD₁所成角，求解三角形得答案．

解答 解：如图，
连接BD交AC于O，则BD⊥AC，
∵DD₁⊥底面ABCD，则DD₁⊥AC，
∵BD∩DD₁=D，∴AC⊥平面D₁DO．
而AC?平面ACD₁，∴平面D₁DO⊥平面ACD₁，
又平面D₁DO⊥平面ACD₁=D₁O，
∴∠DD₁O为直线DD₁与平面ACD₁所成角，
即为直线BB₁与平面ACD₁所成角．
设正方体棱长为a，则DD₁=a，$DO=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴${D}_{1}O=\sqrt{{a}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}a$．
在Rt△D₁DO中，cos∠DD₁O=$\frac{D{D}_{1}}{{D}_{1}O}=\frac{a}{\frac{\sqrt{6}}{2}a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查直线与平面所成角，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．