Question

20．如图所示，正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；
（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；
（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知∠PMO为所求二面角P-AD-O的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角，则tan∠PAO=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，设AB=a，则AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，PO=AO•tan∠POA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，MO=$\frac{1}{2}$a，tan∠PMO=$\sqrt{3}$，∠PMO=60°； 
（2）依题意连结AE，OE，则OE∥PD，故∠OEA为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易证OA⊥平面POB，故△AOE为直角三角形，OE=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{P{O}^{2}+D{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$a，所以tan∠AEO=$\frac{AO}{EO}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$；
（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，易得BC⊥平面PMN，故平面PMN⊥平面PBC，而△PMN为正三角形，易证MG⊥平面PBC，取MA的中点F，连EF，则四边形MFEG为平行四边形，从而MG∥FE，EF⊥平面PBC，F是AD的4等分点，靠近A点的位置．

解答 解：（1）取AD中点M，连接MO，PM，
依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，则∠PMO为所求二面角P-AD-O的平面角．
∵PO⊥面ABCD，
∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．
∴tan∠PAO=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
设AB=a，AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴PO=AO•tan∠POA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
tan∠PMO=$\frac{PO}{MO}$=$\sqrt{3}$．
∴∠PMO=60°．        

（2）连接AE，OE，
∵OE∥PD，
∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．   
∵AO⊥BD，AO⊥PO，
∴AO⊥平面PBD．
又OE?平面PBD，
∴AO⊥OE．
∵OE=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{P{O}^{2}+D{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$a，
∴tan∠AEO=$\frac{AO}{EO}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$；
（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG．

∵BC⊥MN，BC⊥PN，
∴BC⊥平面PMN
∴平面PMN⊥平面PBC．       
又PM=PN，∠PMN=60°，
∴△PMN为正三角形．
∴MG⊥PN．又平面PMN∩平面PBC=PN，
∴MG⊥平面PBC．  
∴F是AD的4等分点，靠近A点的位置．

点评 本题考查二面角及平面角的求法，异面直线所成角的正切值的求法，难度较大，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．