Question

8．已知等差数列{a_n}满足：a₁=2，公差d≠0且a₁，a₂，a₅成等比数列
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记数列{a_n}的前n项和为S_n，是否存在正整数n，使得S_n＞60n+800？若存在，求n的最小值，若不存在，说明理由；
（3）若b_n=$\frac{{a}_{n}}{2}$且c_n=2ⁿ•b_n，记数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：（a₁+d）=a₁•（a₁+4d），求得d=2a₁=4．根据等差数列通项公式即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知：根据等差数列前n项和公式可知：S_n=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{n}）n}{2}$=2n²，由2n²＞60n+800，解得：n＞40，即n的最小值为41；  
（3）由（1）得b_n=$\frac{{a}_{n}}{2}$=2n-1，c_n=2ⁿ•b_n=（2n-1）•2ⁿ，采用“错位相减法”即可求得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，
由a₁，a₂，a₅成等比数列，
∴a₂²=a₁•a₅，即（a₁+d）=a₁•（a₁+4d），整理得：d²=2a₁d，
由d≠0，
∴d=2a₁=4    …（3分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=4n-2，
数列{a_n}的通项公式a_n=4n-2；  …（4分）
（2）由（1）可知：a_n=4n-2，S_n=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{n}）n}{2}$=2n²，…（5分）
令2n²＞60n+800，整理得：n²-30n-400=0，
解得n＞40或n＜-10（舍）…（6分）
∴n＞40，即n的最小值为41；                            …（7分）
（3）由（1）可知：b_n=$\frac{{a}_{n}}{2}$=2n-1，c_n=2ⁿ•b_n=（2n-1）•2ⁿ，
数列{c_n}的前n项和为T_n，T_n=1•2+3×2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，①…（8分）
2T_n=1•2²+3×2³+5•2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，②…（9分）
②-①得：-T_n=-4+2（1+2+2²+2³+5•2⁴+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
=-4+2×$\frac{1-{2}^{n+1}}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，…（10分）
=6-（2n-3）•2ⁿ⁺¹，…（11分）
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6，
数列{c_n}的前n项和为T_n，T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．                   …（12分）

点评 本题考查等差数列通项公式及前n项和公式的综合应用，考查数列与不等式的结合，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．