Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为

2

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为

2

2

时，PQ=2

3

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：，（1）设P(x0，

2

2

x0)，由于直线PQ斜率为

2

2

时，PQ=2

3

，可得x02+(

2

2

x0)2=3，解得x02=2，代入椭圆方程可得：

2

a2

+

1

b2

=1，又e=

c

a

=

a2-b2

a

=

2

2

，联立解得即可．
（2）设P（x₀，y₀），则Q（-x₀，-y₀），代入椭圆方程可得

x

2 0

+2

y

2 0

=4．由直线PA方程为：y=

y0

x0+2

(x+2)，可得M(0，

2y0

x0+2

)，同理由直线QA方程可得N(0，

2y0

x0-2

)，可得以MN为直径的圆为(x-0)(x-0)+(y-

2y0

x0+2

)(y-

2y0

x0-2

)=0，由于

x

2 0

-4=-2

y

2 0

，代入整理即可得出．

解答： 解：（1）设P(x0，

2

2

x0)，
∵直线PQ斜率为

2

2

时，PQ=2

3

，
∴x02+(

2

2

x0)2=3，
∴x02=2，(

2

2

x0)2=1，
∴

2

a2

+

1

b2

=1，
∵e=

c

a

=

a2-b2

a

=

2

2

，化为a²=2b²．
联立

a2=2b2 2 a2 + 1 b2 =1

，
∴a²=4，b²=2．
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）以MN为直径的圆过定点F(±

2

，0)．下面给出证明：
设P（x₀，y₀），则Q（-x₀，-y₀），且

x 2 0

4

+

y 2 0

2

=1，即

x

2 0

+2

y

2 0

=4，
∵A（-2，0），∴直线PA方程为：y=

y0

x0+2

(x+2)，
∴M(0，

2y0

x0+2

)，
直线QA方程为：y=

y0

x0-2

(x+2)，
∴N(0，

2y0

x0-2

)，
以MN为直径的圆为(x-0)(x-0)+(y-

2y0

x0+2

)(y-

2y0

x0-2

)=0，
即x2+y2-

4x0y0

x02-4

y+

4y02

x02-4

=0，

∵

x

2 0

-4=-2

y

2 0

，
∴x2+y2+

2x0

y0

y-2=0，
令y=0，x²+y²-2=0，解得x=±

2

，
∴以MN为直径的圆过定点F(±

2

，0)．

点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与椭圆的位置关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．