Question

已知数列{a_n}是公比为正整数的等比数列，若a₂=2且a₁，a3+

1

2

，a₄成等差数列，定义：

n

P1+P2+…+Pn

为n个正数P₁，P₂，…，P_n（n∈N^*）的“均倒数”
（1）若数列{b_n}前n项的“均倒数“为

1

2an-1

(n∈N*)，求数列{b_n}的通项b_n    
（2）试比较

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

与2的大小，并说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

a1q=2 2(a1q2+ 1 2 )=a1+a1q3

，由q为正整数，解得a₁=1，q=2，从而a_n=2^n-1，设数列{b_n}前n项的前n项和为S_n，进而得到S_n=n•2ⁿ-n，由此能求出b_n=（n+1）•2^n-1-1．
（2）由

1

bn

=

1

n•2n-1+2n-1-1

＜

1

n•2n-1

=

2

n•2n

＜

2

2n

，利用放缩法和等比数列的性质能求出

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜2．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是公比为正整数的等比数列，
a₂=2且a₁，a3+

1

2

，a₄成等差数列，
∴

a1q=2 2(a1q2+ 1 2 )=a1+a1q3

，
由q为正整数，解得a₁=1，q=2，
∴a_n=2^n-1，
∵数列{b_n}前n项的“均倒数“为

1

2an-1

(n∈N*)，
∴

1

n

(b1+b2+…+bn)=2a_n-1=2ⁿ-1，
设数列{b_n}前n项的前n项和为S_n，则S_n=n•2ⁿ-n，
∴b₁=1×2-1=1，
n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=（n•2ⁿ-n）-[（n-1）•2^n-1-（n-1）]=（n+1）•2^n-1-1，
n=1时，上式成立，
∴b_n=（n+1）•2^n-1-1．
（2）解：∵

1

bn

=

1

n•2n-1+2n-1-1

＜

1

n•2n-1

=

2

n•2n

＜

2

2n

，
∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜2（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

）
=2×

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=2（1-

1

2n

）＜2．
∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和与2的大小的比较，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．