Question

10．关于函数f（x）=lg$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$（x≠0），给出下列命题：
①其图象关于y轴对称；
②当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；
③f（x）在区间（-1，0），（2，+∞）上是增函数；
④f（x）的最小值是lg2；
⑤f（x）既无最大值，也无最小值．
其中正确的序号是①③④．

Answer 1

分析 根据已知中函数的解析式，求出函数的奇偶性，单调性及最值，进而可得答案．

解答 解：∵函数f（x）=lg$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$（x≠0），
f（-x）=lg$\frac{（-{x）}^{2}+1}{|-x|}$=lg$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$=f（x），
故函数为偶函数，其图象关于y轴对称；故①正确；
当x＞0时，f（x）=lg$\frac{{x}^{2}+1}{x}$，在（0，1]上为减函数，在[1，+∞）上是增函数；
当x＜0时，f（x）=lg$\frac{{x}^{2}+1}{-x}$，在（-∞，-1]上为减函数，在[-1，0）上是增函数；
故②错误，③正确；
当x=±1时，函数取最小值lg2，无最大值，故④正确，⑤错误；
故答案为：①③④

点评 本题是函数图象和性质的综合应用，分析出函数的奇偶性，单调性及最值，是解答的关键．