题目内容

已知在正项数列{a_n}中，a₁=1，前n项的和S_n满足： $数学公式$ ．则此数列的通项公式a_n=________．

$\text{[math]}$
分析：根据题目给出的递推式，取n=n+1时得到另外一个式子，两式作差后两边平方运算，得到 $\text{[math]}$ ，构造数列设 $\text{[math]}$ ，则数列{b_n}为等差数列，写出等差数列的通项公式，把b_n代入后可求a_n，结合 $\text{[math]}$ 可对求出的a_n进行取舍．
解答：∵2 $\text{[math]}$ ①
∴2 $\text{[math]}$ ②
②-①得：2 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，
两边平方得： $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$
设 $\text{[math]}$ ，则b_n+1-b_n=4，
而 $\text{[math]}$ ．
所以数列{b_n}是首项为2，公差为4的等差数列，b_n=2+4（n-1）=4n-2．
则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，又a_n＞0＞0，故 $\text{[math]}$ ，
从而 $\text{[math]}$ ，解得： $\text{[math]}$ ，
而a₁=1，由2（a₁+a₂）= $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，解得a₂=-1± $\text{[math]}$ ，
取 $\text{[math]}$ -1＞0，则只有 $\text{[math]}$ 符合．
所以，此数列的通项公式 $\text{[math]}$ ．
故答案为有 $\text{[math]}$ （n∈N^*）．
点评：本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了利用递推式求数列的通项公式，在递推式中替换n=n+1（或n-1）得另外一个递推式，两式联立求解是解答此类问题常用的方法，解答该题的关键是两式作差后两边平方，然后构造函数，这也是该题的难点所在，该题是中档题．