题目内容
已知在正项数列{an}中，a1=1，前n项的和Sn满足：2Sn=an+
．则此数列的通项公式an=
-
(n∈N*)
-
(n∈N*)．
| 1 |
| an |
| n |
| n-1 |
| n |
| n-1 |
分析：根据题目给出的递推式，取n=n+1时得到另外一个式子，两式作差后两边平方运算，得到(an+12+
)-(an2+
)=4，构造数列设bn=an2+
，则数列{bn}为等差数列，写出等差数列的通项公式，把bn代入后可求an，结合a2=
-1可对求出的an进行取舍．
| 1 |
| an+12 |
| 1 |
| an2 |
| 1 |
| an2 |
| 2 |
解答：解：∵2Sn=an+
①
∴2Sn+1=an+1+
②
②-①得：2an+1=an+1+
-an-
，
所以an+
=
-an+1，
两边平方得：an2+
+2=
+an+12-2，
即(an+12+
)-(an2+
)=4
设bn=an2+
，则bn+1-bn=4，
而b1=a12+
=1+1=2．
所以数列{bn}是首项为2，公差为4的等差数列，bn=2+4（n-1）=4n-2．
则an2+
=4n-2，即(an+
)2=4n，又an＞0＞0，故an+
=2
，
从而an2-2
an+1=0，解得：an=
±
，
而a1=1，由2（a1+a2）=a2+
，即a22+2a2-1=0，解得a2=-1±
，
取a2=
-1＞0，则只有an=
-
符合．
所以，此数列的通项公式an=
-
．
故答案为有an=
-
（n∈N*）．
| 1 |
| an |
∴2Sn+1=an+1+
| 1 |
| an+1 |
②-①得：2an+1=an+1+
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
所以an+
| 1 |
| an |
| 1 |
| an+1 |
两边平方得：an2+
| 1 |
| an2 |
| 1 |
| an+12 |
即(an+12+
| 1 |
| an+12 |
| 1 |
| an2 |
设bn=an2+
| 1 |
| an2 |
而b1=a12+
| 1 |
| a12 |
所以数列{bn}是首项为2，公差为4的等差数列，bn=2+4（n-1）=4n-2．
则an2+
| 1 |
| an2 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| an |
| n |
从而an2-2
| n |
| n |
| n-1 |
而a1=1，由2（a1+a2）=a2+
| 1 |
| a2 |
| 2 |
取a2=
| 2 |
| n |
| n-1 |
所以，此数列的通项公式an=
| n |
| n-1 |
故答案为有an=
| n |
| n-1 |
点评：本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了利用递推式求数列的通项公式，在递推式中替换n=n+1（或n-1）得另外一个递推式，两式联立求解是解答此类问题常用的方法，解答该题的关键是两式作差后两边平方，然后构造函数，这也是该题的难点所在，该题是中档题．
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=an+1，求an.
．则此数列的通项公式an= ．