Question

在△ABC中，∠C=2∠A，cos∠A=

3

4

，

BA

•

BC

=

27

2

．求
（1）cos∠B的值；
（2）边AC的长．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1））由∠C=2∠A，得到∠B=π-3∠A，再由诱导公式和二倍角公式及两角和的余弦公式，即可得到cos∠B的值；
（2）由cos∠A=

3

4

，得到sin∠A，再求得sinC，由正弦定理求出

a

c

，再由平面向量的数量积的定义，可得ac的值，解出a，c，再由余弦定理，即可得到b．

解答： 解：（1）∵∠C=2∠A，
∴∠B=π-∠A-∠C=π-3∠A，
∴cos∠B=-cos3∠A=-cos（2∠A+∠A）
=-（cos2∠Acos∠A-sin2∠Asin∠A）
=-（2cos³∠A-cos∠A-2sin²∠Acos∠A）
=3cos∠A-4cos³∠A
=3×

3

4

-4×（

3

4

）³=

9

16

；
（2）由cos∠A=

3

4

，则sin∠A=

1- 9 16

=

7

4

，
sinC=sin2∠A=2sin∠Acos∠A=2×

3

4

×

7

4

=

3 7

8

，
由正弦定理可得，

a

c

=

sin∠A

sin∠C

=

2

3

，
由

BA

•

BC

=

27

2

，得cacos∠B=

27

2

，
则ac=

27

2

×

16

9

=24，
即有a=4，c=6，
则由余弦定理得，b²=a²+c²-2accos∠B=16+36-2×4×6×

9

16

=25，
则b=5．
故边AC的长为5．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查余弦定理和正弦定理及运用，平面向量的数量积的运用，考查三角函数的恒等变换的运算能力，属于中档题．