Question

已知函数f（x）=4^x-m•2^x+1+8．
（1）当m=3时，求方程f（x）=0的解；
（2）若x∈[0，1]，求函数f（x）的最小值g（m）（用m表示）．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,指数型复合函数的性质及应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据指数函数和一元二次方程的解法即可求出函数的值域．
（2）利用换元法转化为一元二次函数．即可得到结论．

解答： 解：（1）当m=3时，f（x）=（2^x）²-6•2^x+8，
由f（x）=（2^x）²-6•2^x+8=0，
即（2^x-2）（2^x-4）=0．
即2^x=2或2^x=4，
解得x=1或x=2，
即方程f（x）=0的解为x=1或x=2．
（2）f（x）=4^x-m•2^x+1+8=（2^x）²-2m•2^x+8，
设t=2^x，
∵x∈[0，1]，
∴t∈[1，2]，
则函数等价为y=h（t）=t²-2m•t+8=（t-m）²-m²+8，
若m＜1，则函数在[1，2]上为增函数，
则函数的最小值为g（m）=h（1）=9-2m，
若1≤m≤2，当t=m时，函数的最小值为g（m）=h（m）=8-m²，
若m＞2，则函数在[1，2]上为减函数，
则函数的最小值为g（m）=h（2）=12-4m，
故g(m)=

9-2m(m＜1) 8-m2(1≤m≤2) 12-4m(m＞2)

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点评：本题主要考查指数函数的应用，根据指数函数和一元二次函数的性质，结合复合函数的性质是解决本题的关键．