Question

10．如图△ABC和△ABD均为等腰直角三角形，AD⊥BD，AC⊥BC，平面ABC⊥平面ABD，EC⊥平面ABC，EC=1，$AD=2\sqrt{2}$．
（1）证明：DE⊥AB；
（2）求二面角D-BE-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）设AB的中点为F，连结DF，CF，由已知可得AB⊥平面CFD，在证明DF与EC可确定唯一确定的平面ECFD，即可证明DE⊥AB；
（2）以F为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出所用点的坐标，进一步求得平面ABE与平面DBE的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D-BE-A的余弦值．

解答 （1）证明：设AB的中点为F，连结DF，CF，
∵△ABC与△ABD为等腰直角三角形，AC=BC，AD=BD，
∴AB⊥DF，AB⊥CF，
又 DF∩CF=F，
∴AB⊥平面CFD，
∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，DF?平面ABC，DF⊥AB，
∴DF⊥平面ABC，
又EC⊥平面ABC，∴DF∥EC．
∴DF与EC可确定唯一确定的平面ECFD．
又DE?平面ECFD，∴DE⊥AB；
（2）以F为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 B（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，2），A（-2，0，0），
$\overrightarrow{AB}=（{4，0，0}）$，$\overrightarrow{BE}=（-2，2，1）$，$\overrightarrow{BD}=（-2，0，2）$．
设平面ABE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{4{x_1}=0}\\{-2{x_1}+2{y_1}+{z_1}=0}\end{array}}\right.$，令y₁=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，-2），
设平面DBE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{-2{x_2}+2{y_2}+{z_2}=0}\\{-2{x_2}+2{z_2}=0}\end{array}}\right.$，令x₂=1，得$\overrightarrow{n}=（1，\frac{1}{2}，1）$，
设二面角D-BE-A平面角为θ，则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴二面角D-BE-A的余弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查空间中直线与直线的位置关系，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．