Question

18．已知四棱锥S-ABCD的底面为平行四边形，且SD⊥面ABCD，AB=2AD=2SD，∠DCB=60°，M、N分别为SB、SC中点，过MN作平面MNPQ分别与线段CD、AB相交于点P、Q．
（Ⅰ）在图中作出平面MNPQ使面MNPQ‖面SAD（不要求证明）；
（ II）若$|{\overrightarrow{AB}}|=4$，在（Ⅰ）的条件下求多面体MNCBPQ的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用Q是AB的中点推出图形即可．
（Ⅱ）连接PB，NB，由题可知在（Ⅰ）情况下，说明平面MNPQ与平面ABCD垂直，通过V_MNCBQP=V_B-MNPQ+V_N-PBC，推出此多面体MNCBPQ的体积．

解答 解：（Ⅰ）：如图，Q是AB的中点（若NP．PQ不是虚线，扣两分）…..（4分）

（Ⅱ）连接PB，NB，由题可知在（Ⅰ）情况下，
平面MNPQ与平面ABCD垂直，由题知AB=4，BC=PC=2，SD=2，NP=1
且SD⊥面ABCD，NP∥SD，则NP⊥面ABCD，△PCB是边长为2的等边三角形则${V_{N-PBC}}=\frac{1}{3}{S_{△PBC}}|{NP}|=\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{4}•4•1=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（6分）
由MN∥BC，MN⊥面SAD，面MNPQ是直角梯形，MN=NP=1，PQ=2，
连接BD交PQ于点H，在△ABD中，由余弦定理可知$BD=2\sqrt{3}$，AB²=AD²+BD²则BD⊥AD，
即BH⊥PQ，且BH⊥NP，故BH⊥面MNPQ…（9分），
${V_{B-MNPQ}}=\frac{1}{3}{S_{MNPQ}}•|{BH}|=\frac{1}{3}•\frac{{（{1+2}）1}}{2}•\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（10分）
故V_MNCBQP=V_B-MNPQ+V_N-PBC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{{5\sqrt{3}}}{6}$…..（11分）
故此多面体MNCBPQ的体积为$\frac{{5\sqrt{3}}}{6}$…．（12分）

点评 本题考查直线与平面的位置关系的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．