Question

17．已知函数f（x）=|x-1|．
（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x-1）≤2，；
（Ⅱ）若a＞0，求证：f（ax）-af（x）≤f（a）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）当a＞0时，求得f（ax）-af（x）=|ax-1|-|a-ax|，利用绝对值不等式的性质可得|ax-1|-|a-ax|≤|ax-1+a-ax|=f（a），从而可证结论．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=|x-1|，不等式：f（x）+f（x-1）≤2，即|x-1|+|x-2|≤2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{1-x+2-x≤2}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{x-1+（2-x）≤2}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x-1+x-2≤2}\end{array}\right.$③，
解①求得$\frac{1}{2}$≤x＜1，解②求得 1≤x≤2，解③求得2＜x≤$\frac{5}{2}$．
综合可得，不等式的解集为{x|$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{5}{2}$}．
（Ⅱ）证明：若a＞0，则f（ax）-af（x）=|ax-1|-a|x-1|=|ax-1|-|ax-a|≤|（ax-1）-（ax-a）|=|a-1|=f（a），
即f（ax）-af（x）≤f（a）成立．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，掌握双绝对值不等式的性质，通过分类讨论去掉绝对值符号是解题的关键，考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．