Question

10．已知F₁（-c，0）、F₂（c、0）分别是椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（a＞0）的左、右焦点，点P是椭圆上一点，且PF₂⊥F₁F₂，|PF₁|-|PF₂|=$\frac{3a}{2}$．
（1）求椭圆G的方程；
（2）直线l与椭圆G交于两个不同的点M，N．
（i）若直线l的斜率为1，且不经过椭圆G上的点C（4，n），其中n＞0，求证：直线CM与CN关于直线x=4对称．
（ii）若直线l过F₂，点B是椭圆G的上顶点，是否存在直线l，使得△BF₂M与△BF₂N的面积的比值为2？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设|PF₁|=m，|PF₂|=n．由PF₂⊥F₁F₂，|PF₁|-|PF₂|=$\frac{3a}{2}$，可得m²=n²+4c²，m-n=$\frac{3a}{2}$，m+n=2a，又a²=5+c²，解出即可得出．
（2）（i）把x=4代入椭圆方程可得：$\frac{16}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1，解得y，可得C（4，1）．设直线l的方程为：y=x+m，k_CM=k₁，k_CN=k₂，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直线方程与椭圆方程联立化为：5x²+8mx+4m²-20=0，△＞0，k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-4}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-4}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-4）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-4）}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$，把根与系数的关系代入分子=0．即可证明．
（ii）△BF₂M与△BF₂N的面积的比值为2，可得：|F₁M|=2|F₂M|，即y₁=-2y₂，①，当直线l为x轴时，不和题意，舍去．当直线l的斜率存在时，设方程为x=k+$\sqrt{15}$，代入椭圆方程化为：（k²=4）y²+2$\sqrt{15}$ky-5=0，可得y₁+y₂=$\frac{-2\sqrt{15}k}{{k}^{2}+4}$，②y₁•y₂=$\frac{-5}{{k}^{2}+4}$，③由①②③联立解出即可得出．

解答 解：（1）设|PF₁|=m，|PF₂|=n．
∵PF₂⊥F₁F₂，|PF₁|-|PF₂|=$\frac{3a}{2}$，
∴m²=n²+4c²，m-n=$\frac{3a}{2}$，m+n=2a，a²=5+c²，
解得：a²=20，c²=15．
∴椭圆G的方程为$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
（2）（i）把x=4代入椭圆方程可得：$\frac{16}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1，解得y=±1，则C（4，1）．
设直线l的方程为：y=x+m，k_CM=k₁，k_CN=k₂，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，化为：5x²+8mx+4m²-20=0，△=64m²-20（4m²-20）＞0，解得-5＜m＜5．
x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，x₁•x₂=$\frac{4{m}^{2}-20}{5}$．
k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-4}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-4}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-4）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-4）}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$，
分子=（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）=2x₁•x₂+（m-5）（x₁+x₂）+8（1-m）
=2×$\frac{4{m}^{2}-20}{5}$+（m-5）×$（-\frac{8m}{5}）$+8（1-m）=0．
∴k₁+k₂=0，
∴直线CM与CN关于直线x=4对称．
（ii）△BF₂M与△BF₂N的面积的比值为2，可得：
∴|F₁M|=2|F₂M|，即y₁=-2y₂，①，当直线l为x轴时，不和题意，舍去．
当直线l的斜率存在时，设方程为x=k+$\sqrt{15}$，代入椭圆方程化为：（k²=4）y²+2$\sqrt{15}$ky-5=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-2\sqrt{15}k}{{k}^{2}+4}$，②y₁•y₂=$\frac{-5}{{k}^{2}+4}$，③由①②③联立解得k²=$\frac{4}{23}$，即k=±$\frac{2\sqrt{23}}{23}$．
∴存在直线l的方程为：x±$\frac{2\sqrt{23}}{23}$y+$\sqrt{15}$=0，使得△BF₂M与△BF₂N的面积的比值为2．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式、斜率计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．