Question

5．已知a＞0，函数y=x³-ax在区间[1，+∞）上是单调函数，则a的最大值为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 法一：先利用导函数求出原函数的单调增区间，再让[1，+∞）是所求区间的子集可得结论．
法二：由题意a＞0，函数f（x）=x³-ax，首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调性的关系进行判断．

解答 解：法一∵f（x）=x³-ax，
∴f′（x）=3x²-a=3（x-$\frac{\sqrt{a}}{3}$）（x+$\frac{\sqrt{a}}{3}$）
∴f（x）=x³-ax在（-∞，-$\frac{\sqrt{a}}{3}$），（$\frac{\sqrt{a}}{3}$，+∞）上单调递增，
∵函数f（x）=x³-ax在[1，+∞）上单调，
∴$\frac{\sqrt{a}}{3}$≤1⇒a≤3
∴a的最大值为 3
法二：由法一得f′（x）=3x²-a，
∵函数f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是单调函数，
根据二次函数的性质，显然是递增函数，
∴在[1，+∞）上，f′（x）≥0恒成立，
即a≤3x²在[1，+∞）上恒成立，
∴a≤3，
故选：D．

点评 本小题主要考查函数单调性的应用、函数导数与函数单调性之间的关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．