Question

双曲线

x2

9

-

y2

16

=1的两个焦点为F₁，F₂，点P在双曲线上．若PF₁⊥PF₂，求点P到x轴的距离．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用PF₁⊥PF₂，结合向量知识，可得P的轨迹方程，结合双曲线方程，即可得到点P到x轴的距离．

解答： 解：设P点为（x₀，y₀），而F₁（-5，0），F₂（5，0），…（2分）
则

PF1

=（-5-x₀，-y₀），

PF2

=（5-x₀，-y₀）．
∵PF₁⊥PF₂，
∴

PF1

•

PF2

=0，
即（-5-x₀）（5-x₀）+（-y₀）•（-y₀）=0，
整理，得

x

2 0

+

y

2 0

=25①…（8分）
又∵P（x₀，y₀）在双曲线上，
∴

x 2 0

9

-

y 2 0

16

=1②…（10分）
联立①②，得

y

2 0

=

256

25

，即|y0|=

16

5

…（12分）
因此点P到x轴的距离为

16

5

…（14分）

点评：本题考查轨迹方程，考查双曲线的简单性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．