Question

8．等比数列{a_n}同时满足下列条件：a₁+a₆=33；a₃a₄=32．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）若4a₂，2a₃，a₄构成等差数列，求{a_n}的前6项和S₆．

Answer 1

分析 （1）运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项；
（2）由等差数列的中项性质，结合等比数列的通项公式，解方程可得公比为2，再由等比数列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
由a₃a₄=a₁a₆，可得a₁a₆=32，a₁+a₆=33，
解得a₁=1，a₆=32；或a₁=32，a₆=1．
可得q⁵=32或q⁵=$\frac{1}{32}$，
解得q=2或q=$\frac{1}{2}$，
可得a_n=2^n-1；或a_n=32•（$\frac{1}{2}$）^n-1；
（2）4a₂，2a₃，a₄构成等差数列，
可得4a₃=4a₂+a₄，
即有4a₁q²=4a₁q+a₁q³，
即q²-4q+4=0，解得q=2，
即有a_n=2^n-1；
则{a_n}的前6项和S₆=$\frac{1-{2}^{6}}{1-2}$=63．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．