Question

14．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx-cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\frac{1}{2}$），若f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（A为锐角），sinBsinC=$\frac{2}{3}$，△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求a．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量的向量积，以及两角和差的正弦公式化简函数，由此得到函数的单调增区间．
（Ⅱ）由恒等式得到A，由正弦定理得到a．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
∴函数f（x）的单调递增区间需满足：
-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ
解得：-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，（k∈Z）
∴函数的单调增区间是[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]；
（Ⅱ）∵f（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（A为锐角），
∴A=$\frac{π}{3}$
∵△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，
∴bc=8
∵sinBsinC=$\frac{2}{3}$，
由正弦定理得到：$\frac{{a}^{2}}{si{n}^{2}A}$=$\frac{bc}{sinBsinC}$=12，
∴a=2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考察两个向量的数量积公式，两角和差的正弦公式，及三角形的正弦定理的应用．