Question

5．设函数f（x）=2cosx（cosx+sinx）+a的最大值为$\sqrt{2}$．
（1）求常数a的值和f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的值域；
（3）设函数h（x）=f（ωx-$\frac{π}{8}$）（ω＞0），且h（x）在区间[-$\frac{3π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上为增函数，求ω的最大值．

Answer 1

分析 （1）三角函数通过化一进行化简，从而三角函数的图象和性质即可求常数a的值和f（x）的最小正周期；
（2）通过三角函数的图象，求闭区间上的值域；
（3）知道单调区间逆求参数ω的范围，运用子区间求出ω的最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=2cosx（cosx+sinx）+a=2cos²x+2sinxcosx+a=cos2x+sin2x+1+a
=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$+1+a，
当$sin（2x+\frac{π}{4}）=1$时，函数f（x）取得最大值，即$\sqrt{2}+1+a=\sqrt{2}$，∴1+a=0，故a=-1；
f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{ω}=π$．
（2）由（1）知f（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，∵$x∈[-\frac{π}{4，}\frac{π}{4}]$，∴$2x+\frac{π}{4}∈[-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，∴$sin（2x+\frac{π}{4}）∈[-\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$，
故函数f（x）的值域为$[-1，\sqrt{2}]$．
（3）函数h（x）=f（ωx-$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}sin[2（ωx-\frac{π}{8}）+\frac{π}{4}]=\sqrt{2}sin（2ωx）$，∵$-\frac{π}{2}+2kπ≤2ωx≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，所以h（x）的单调增区间为$[-\frac{π}{4ω}+\frac{kπ}{ω}，\frac{π}{4ω}+\frac{kπ}{ω}]，k∈Z$，若使h（x）在区间[-$\frac{3π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上为增函数，则只需$[-\frac{3π}{2}，\frac{π}{2}]⊆[-\frac{π}{4ω}+\frac{kπ}{ω}，\frac{π}{4ω}+\frac{kπ}{ω}]$ k∈Z．
由题意可知，k=0，从而解得$0＜ω≤\frac{1}{6}$．故ω的最大值为$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了三角函数的最小正周期及最值问题，已知单调性逆求参数，属于中档题．