Question

9．设两个向量$\overrightarrow{a}$=（λ+2，λ²-cos²θ），$\overrightarrow{b}$=（μ，$\frac{μ}{2}$+sinθ），其中λ，μ，θ∈R，若$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$，则$\frac{λ}{μ}$的最小值为-6．

Answer 1

分析 由题意，求出2$\overrightarrow{b}$的坐标形式，利用向量共线求出λ，μ，θ的关系式，利用三角函数性质求出μ的取值范围，找到$\frac{λ}{μ}$的形式，利用函数单调性求出其取值范围，确定其最小值．

解答 解：由题意得，
2$\overrightarrow{b}$=（2μ，μ+2sinθ），
又因为$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{λ+2=2μ}\\{{λ}^{2}-co{s}^{2}θ=μ+2sinθ}\end{array}\right.$，
所以μ-λ²=sin²θ-2sinθ+1-2=（sinθ-1）²-2∈[-2，2]，
所以-2≤μ-（2μ-2）²≤2，
所以-2≤4μ²-9μ+4≤2，
所以$\left\{\begin{array}{l}{4{μ}^{2}-9μ+4≤2}\\{-2≤4{μ}^{2}-9μ+4}\end{array}\right.$，
所以$\frac{1}{4}$≤μ≤2，
所以$\frac{λ}{μ}$=$\frac{2μ-2}{μ}=2-\frac{2}{μ}$≥-6，当$μ=\frac{1}{4}$时取“=”，
所以$\frac{λ}{μ}$的最小值为-6．
故答案为：-6．

点评 本题考察了向量坐标运算，向量相等，复合函数求值域，函数单调性求值域等知识点，综合性很强；难点在于理清真个解题思路，关键点是将$\frac{λ}{μ}$转化为关于μ的函数，利用函数单调性求出其值域．