Question

6．如图，在几何图形ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=CF=1，∠ABC=60°，四边形ACEF为矩形，平面ACEF⊥平面ABCD．
（1）求证：平面FBC⊥平面ACEF；
（2）在AB上确定一点P，使得平面FCP∥平面AED；
（3）求三棱锥E-CDF的体积．

Answer 1

分析 （1）利用等腰梯形得性质求出AC，AB，利用勾股定理得出AC⊥BC，由面面垂直的性质得出BC⊥平面ACFE，故而平面FBC⊥平面ACEF；
（2）由AE∥CF可得当AD∥CP时平面FCP∥平面AED，根据四边形APCD为平行四边形得出AP=CD，故P为AB的中点；
（3）过D作DH⊥AC，则DH⊥平面ACFE，于是V_E-CDF=V_D-CEF=$\frac{1}{3}{S}_{△CEF}•DH$．

解答 解：（1）过C作CM⊥AB于M，
∵BC=1，∠ABC=60°，
∴BM=$\frac{1}{2}$，CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AB=CD+2BM=2，AM=$\frac{3}{2}$，∴AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥CB
又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，
BC?平面ABCD，
∴CB⊥平面ACFE，又CB⊆平面FBC，
∴平面FBC⊥平面ACFE．
（2）∵CF∥AE，∴当CP∥AD时有平面FCP∥平面AED．
又∵CD∥AP，∴四边形APCD是平行四边形，
∴AP=CD．
∵CD=1，AB=2，∴P为AB的中点．
∴当P为AB的中点时，平面FCP∥平面AED．
（3）过D作DH⊥AC于H，
∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，DH?平面ABCD．
∴DH⊥平面ACFE．
∵AD=DC=1，∠ADC=120°，∴DH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$，
∴V_E-CDF=V_D-CEF=$\frac{1}{3}{S}_{△CEF}•DH$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题考查了面面平行，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．