Question

16．如图①，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，现在沿DE，DF及EF把△ADE，△CDF和△BEF折起，使A，B，C三点重合，重合后的点记作P，如图②所示．
（1）求证：PD⊥EF；
（2）求二面角D-EF-P的平面角的正切值．
（3）求点P到平面DEF的距离

Answer 1

分析 （1）推导出DM⊥EF，PM⊥EF，从而EF⊥平面PDM，由此能证明EF⊥PD．
（2）由DM⊥EF，PM⊥EF，知∠PMD是二面角D-EF-P的平面角，由此能求出二面角D-EF-P的平面角的正切值
（3）由V_P-DEF=V_D-PEF，能求出点P到平面DEF的距离．

解答 证明：（1）∵DE=DF=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，EF∥AC，
∴BD⊥EF，M是EF的中点，∴DM⊥EF，
∵折叠前AE=CF，∴折叠后PE=PF，
∴PM⊥EF，
∵DM∩PM=M，∴EF⊥平面PDM，
∵PD?平面PDM，∴EF⊥PD．
解：（2）∵DM⊥EF，PM⊥EF，∴∠PMD是二面角D-EF-P的平面角，
∵PD=AD=2，PM=BM=$\frac{1}{4}BD$=$\frac{1}{4}\sqrt{4+4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，DM=$\frac{3}{4}BD=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴cos∠PMD=$\frac{D{M}^{2}+P{M}^{2}-P{D}^{2}}{2DM•PM}$=$\frac{\frac{18}{4}+\frac{2}{4}-4}{2×\frac{3\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴tan$∠PMD=2\sqrt{2}$．
∴二面角D-EF-P的平面角的正切值为2$\sqrt{2}$．
（3）∵PD⊥PE，PD⊥PF，PE∩PF=P，
∴PD⊥平面PEF，∴P到平面PEF的距离PD=2，
∵PE=PF=1，EF=$\sqrt{2}$，∴PE²+PF²=EF²，∴PE⊥PF，
∴S_△PEF=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
又${S}_{△DEF}=\frac{1}{2}×EF×DM$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
V_P-DEF=V_D-PEF，
设点P到平面DEF的距离，
则$\frac{1}{2}×d×{S}_{△DEF}$=$\frac{1}{2}×PD×{S}_{△PEF}$，即$\frac{1}{2}×d×\frac{3}{2}=\frac{1}{2}×2×\frac{1}{2}$，
解得d=$\frac{2}{3}$．
∴点P到平面DEF的距离d=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．