Question

(本小题满分14分) 设函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极大值点；
（Ⅱ）已知，若函数的图象总在直线的下方，求的取值范围；
（Ⅲ）记为函数的导函数．若，试问：在区间上是否存在（）个正数…，使得成立？请证明你的结论.

Answer 1

（Ⅰ）单调增区间为，单调减区间为，极大值点
（Ⅱ）.
（Ⅲ）在区间上不存在使得成立的（）个正数….

（1）当时，求出的导函数，令，列表研究其单调性和极值；
（2）只要求出的最大值小于即可，求出函数的导数，研究单调性可得到的最大值就是其极大值，解不等式得的取值范围；
（3）时，，，要研究的单调性，记，其中.，即在上为增函数.又，所以，对任意的，总有，
.。故不存在。
解：（Ⅰ）当时，，
令得到，列表如下：

	＋	０	－
		极大值

所以的单调增区间为，单调减区间为
极大值点
（Ⅱ），，.
令，则.
当时，；当时，.
故为函数的唯一极大值点，
所以的最大值为=.
由题意有，解得.
所以的取值范围为.
（Ⅲ）当时，.    记，其中.
∵当时，，∴在上为增函数，
即在上为增函数.又，
所以，对任意的，总有.
所以，
又因为，所以.
故在区间上不存在使得成立的（）个正数….