题目内容
设函数f(x)＝
x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a>1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围.
x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a>1.(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围.
(1) f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)是增函数，在区间(2,2a)是减函数.
(2)a的取范围是(1,6).
(2)a的取范围是(1,6).
(1)求导后，可得
,然后利用导数大于（小于）零，求函数的单调增（减）区间.
（2）把握住本小题求解问题的本质是当x≥0时，f(x)的最小值大于零恒成立，求a的取值范围，因而利用导数求最小值即可
(1)f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a) 由已知a>1，∴2a>2，∴令f′(x)>0，解得x>2a或x<2，∴当x∈(－∞，2)∪(2a，＋∞)时，f(x)单调递增，当x∈(2,2a)时，f(x)单调递减.综上，当a>1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)是增函数，在区间(2,2a)是减函数.
(2)由(1)知，当x≥0时，f(x)在x＝2a或x＝0处取得最小值.
f(2a)＝(2a) 3－(1＋a)(2a)2＋4a·2a＋24a
＝－
a3＋4a2＋24a＝－a(a－6)(a＋3)，f (0)＝24a.
解得1<a<6.故a的取范围是(1,6).
,然后利用导数大于（小于）零，求函数的单调增（减）区间.（2）把握住本小题求解问题的本质是当x≥0时，f(x)的最小值大于零恒成立，求a的取值范围，因而利用导数求最小值即可
(1)f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a) 由已知a>1，∴2a>2，∴令f′(x)>0，解得x>2a或x<2，∴当x∈(－∞，2)∪(2a，＋∞)时，f(x)单调递增，当x∈(2,2a)时，f(x)单调递减.综上，当a>1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)是增函数，在区间(2,2a)是减函数.
(2)由(1)知，当x≥0时，f(x)在x＝2a或x＝0处取得最小值.
f(2a)＝
(2a) 3－(1＋a)(2a)2＋4a·2a＋24a＝－
a3＋4a2＋24a＝－a(a－6)(a＋3)，f (0)＝24a.解得1<a<6.故a的取范围是(1,6).
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．
时，求证：
；（4分）
上
恒成立，求实数
的范围。（4分）
时，求证：
）
．（4分）
，
，证明：
在区间
内存在唯一的零点；
，若对任意
，有
，求
的取值范围；
是
的增减性。
在
上为增函数，求正实数
的取值范围；
时，求
上的最大值和最小值；
（
是自然对数的底数，
）.
时，求
的单调区间；
上是增函数，求实数
的取值范围；
对一切
恒成立.
，
，
．
在区间
上不是单调函数，试求
的取值范围；
的单调递增区间；
，使函数
，
在
处取得最小值，试求
的最大值．
轴对称；
在
上的单调性；
，求此时a的值.
若过两点
的直线I与x轴的交点在曲线
上，求α的值。
.
时，求函数
的单调区间和极大值点； 
，若函数
的下方，求
的取值范围；
为函数
的导函数．若
，试问：在区间
上是否存在
（
）个正数
…
，使得
成立？请证明你的结论.