Question

13．设函数$f（x）=2cos（\frac{π}{3}-\frac{x}{2}）$．
（1）求f（x）的周期；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）当x∈[0，2π]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由函数的解析式利用诱导公式、余弦函数的周期性，求得f（x）的周期．
（2）利用余弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．
（3）利用余弦函数的定义域和值域，求得当x∈[0，2π]时，函数f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=2cos（\frac{π}{3}-\frac{x}{2}）=2cos（\frac{x}{2}-\frac{π}{3}）$，故它的周期为$\frac{2π}{{\frac{1}{2}}}=4π$．
（2）令$2kπ-π≤\frac{x}{2}-\frac{π}{3}≤2kπ$，求得$4kπ-\frac{4π}{3}≤x≤4kπ+\frac{2π}{3}$，故函数的增区间为$[4kπ-\frac{4π}{3}，4kπ+\frac{2π}{3}]$，k∈Z．
（3）当x∈[0，2π]时，$\frac{x}{2}-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，∴$cos（\frac{x}{2}-\frac{π}{3}）∈[-\frac{1}{2}，1]$，
故当$\frac{x}{2}-\frac{π}{3}=\frac{2π}{3}$时，函数f（x）取得最小值为-1；当$\frac{x}{2}-\frac{π}{3}=0$时，函数f（x）取得最大值2．

点评 本题主要考查诱导公式、余弦函数的周期性、余弦函数的单调性以及定义域和值域，属于基础题．