Question

1．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）-f（x）=x²lnx，且f（1）=-1，则f（x）的最小值为（　　）

• A． -e
• B． -$\frac{e}{2}$
• C． $\frac{e}{2}$
• D． e

Answer 1

分析 先求出f（x）的表达式，求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．

解答 解：∵xf′（x）-f（x）=x²lnx，
∴$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$=lnx，
∴${[\frac{f（x）}{x}]}^{′}$=lnx，
∴$\frac{f（x）}{x}$=xlnx-x+c，
∵f（1）=-1，
∴f（1）=-1+c=-1，解得：c=0，
∴f（x）=x²（lnx-1），
∴f′（x）=x（2lnx-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{e}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{e}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{e}$）递减，在（$\sqrt{e}$，+∞）递增，
∴f（x）_min=f（$\sqrt{e}$）=-$\frac{e}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及求函数的原函数问题，是一道中档题．