Question

如图，矩形ABCD所在的平面与平面ABF互相垂直，在△ABF中，AB=

3

，AF=2，BF=1，O、P分别为AC和AF的中点．
（1）求证：AB⊥CF；
（2）若四棱锥F-ABCD的体积为1，求直线OP与平面ABF所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）首先，证明AB⊥BF，然后，AB⊥CB，从而得到AB⊥平面CFB，故得到该命题成立；
（2）首先，找到∠CFB为直线CF与平面ABF所成的角，然后，在三角形中求解即可．

解答： 解：（1）在△ABF中，AB=

3

，AF=2，BF=1，
∴AB²+BF²=AF²，
∴AB⊥BF，
而矩形ABCD中AB⊥CB，
∴AB⊥平面CFB，
又∵CF?平面BCF∵AB⊥CF，
（2）∵VF-ABCD=

1

3

S矩形ABCD•BF=

1

3

×BC×

3

×1=1
∴BC=

3

，
∵CB⊥平面ABF，
∴∠CFB为直线CF与平面ABF所成的角，
在Rt△ABC中，BF=1，
∴tan∠CFB=

BC

BF

=

3

，
∴∠CFB=60°，
又∵O、P分别为AC和AF的中点，
∴OP∥CF，
∴直线OP与平面ABF所成角的大小等于直线CF与平面ABF所成角的大小，
∴直线OP与平面ABF所成角为60°．

点评：本题综合考查了空间中直线与直线平行和垂直、线面角、线面垂直的判定和性质定理等知识，属于综合性题目，处理求解空间角问题时，解决的总的思路是：先找，后求的原则．