Question

已知在正项数列{a_n}中，S_n表示数列{a_n}前n项和且S_n=

1

4

a_n²+

1

2

a_n+

1

4

，n∈N₊，数列{b_n}满足b_n=

1

4Sn-1

，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（I） 求a_n，S_n；
（Ⅱ）是否存在最大的整数t，使得对任意的正整数n均有T_n＞

t

36

总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：

分析：（Ⅰ）由条件再写一式，两式相减，从而数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，由此能求出a_n，S_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=

1

4Sn-1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

，由此能求出t=11符合题意．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=

1

4

a_n²+

1

2

a_n+

1

4

，∴当n=1时，S1=a1=

1

4

a12+

1

2

a1+

1

4

得a1=1，…（1分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(

1

4

an2+

1

2

an+

1

4

)-(

1

4

a

2 n-1

+

1

2

an-1+

1

4

)
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0…（3分）
∵数列{a_n}各项为正，
∴a_n+a_n-1＞0…（4分）
∴a_n-a_n-1=2…（5分）
∴数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列
∴a_n=a₁+（n-1）×2=2n-1．…（6分）
∴S_n=

n[1+(2n-1)]

2

=n²…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=

1

4Sn-1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）  …（8分）
于是T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

…（10分）
易知数列{T_n}是递增数列，故T₁=

1

3

是最小值，…（12分）
所以只需

1

3

＞

t

36

，即t＜12，因此存在t=11符合题意．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的合理运用，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．